Mогут ли забрать ребенка у отца, если он был мобилизован, а мама не лишена родительских прав?

Согласно п. 4 ч. 1 ст. 18 ст. ФЗ "О мобилизационной подготовке и мобилизации в РФ"

отсрочка от призыва на военную службу по мобилизации предоставляется гражданам имеющим на иждивении и воспитывающим без матери одного ребенка и более в возрасте до 16 лет

Подзаконных актов, раскрывающих данное положение, в настоящий момент нет, поэтому прибегнем к применению по аналогии норм пп. "г" п. 17.3 Положения о призыве на военную службу граждан РФ (утв. Постановлением Правительства РФ № 663):

При рассмотрении вопроса о предоставлении гражданину отсрочки от призыва на военную службу призывной комиссии представляются подлинники следующих документов:

в отношении имеющего ребенка и воспитывающего его без матери ребенка:

информация о лицах, проживающих совместно с заявителем, и о родственных связях заявителя на основании декларирования заявителем этих сведений и проверки их в порядке межведомственного информационного взаимодействия;

свидетельство о рождении ребенка;

свидетельство о расторжении брака с выпиской из решения суда, определяющего проживание после развода несовершеннолетнего ребенка с отцом, либо о смерти матери ребенка, либо решение суда о лишении ее родительских прав;

Соответственно, будет достаточным наличие решения суда, из которого следует, что несовершеннолетний ребенок должен проживать с отцом, не обязательно мать должна быть лишена родительских прав.

Таким образом, у вашего мужа есть право на отсрочку от призыва по мобилизации при условии предоставления вышеназванных документов в военкомат.