Как правильно указать место рождения в паспорте, если оно отличается от свидетельства о рождении?

Не принципиально скорее всего.

Нет, менять не нужно, поскольку БаССР и Башкортостан – это синонимы.

Ничего менять не нужно. Сотрудники МВД, точнее УФМС - они Вам в 45 лет паспорт выдавали в 2004 году - так переобозначили на современный лад, хотя это и не вполне правомерно.

Но Вы же примерно 18 лет спокойно жили с данным паспортом - вопрос почему вдруг возник? Очевидно для всех людей, что в 1959 году Ваш город находился в СССР, был столицей БаССР. Сейчас город там же, название не поменял на Салават или Нурсуотанбек, а республика имеет несколько иное название, чем в годы СССР.

При желании Вы можете направить запрос в МВД и спросить.

Постановление Правительства РФ от 08.07.1997 N 828 (ред. от 15.07.2021) "Об утверждении Положения о паспорте гражданина Российской Федерации, образца бланка и описания паспорта гражданина Российской Федерации" (с изм. и доп., вступ. В силу с 01.07.2022)

...

4. В паспорт вносятся следующие сведения о личности гражданина: фамилия, имя, отчество, пол, дата рождения и место рождения.

...

Формально-юридически место Вашего рождения указано в паспорте неправильно. Вы вправе требовать замены. Надо ли Вам это - решать Вам.

При открытии Вашего наследства проблем быть не должно - паспорта не будет - а вот что в свидетельстве о смерти напишут - вопрос!

А то нотариус может детям сказать - Вы не дети у мершего - усопший родился в городе Саров Нижегородской обл. - так в его паспорте написано было - а Ваш родитель родился в г. Арзамас-75 Горьковской обл. - это разные люди!