Необходимо ли ставиться на воинский учет при переезде в другой город, если уже отслужил в армии?

Это обязательно.

В соответствии со ст. 10 Федерального закона "О воинской обязанности и военной службе" от 28.03.1998 N 53-ФЗ:

1. В целях обеспечения воинского учета граждане обязаны:

явиться в двухнедельный срок в военный комиссариат для постановки на воинский учет, снятия с воинского учета и внесения изменений в документы воинского учета при переезде на новое место жительства и (или) место пребывания, в том числе не подтвержденные регистрацией по месту жительства и (или) месту пребывания, либо выезде из Российской Федерации на срок более шести месяцев или въезде в Российскую Федерацию;

Неисполнение указанной обязанности влечет административную ответственность по ст. 21.5 КоАП РФ (штраф до 3000 рублей).