Можно ли требовать выплату денег на дорогу перед отпуском в госучреждении?

Нет, не законно, если Вы подали заявление за 2 недели до начала отпуска.

Согласно ст. 325 ТК РФ,

Оплата стоимости проезда и провоза багажа к месту использования отпуска работника федерального государственного органа, государственного внебюджетного фонда Российской Федерации или федерального государственного учреждения и членов его семьи и обратно производится по заявлению работника не позднее чем за три рабочих дня до отъезда в отпуск исходя из примерной стоимости проезда. Окончательный расчет производится по возвращении из отпуска на основании предоставленных билетов или других документов.

Тоже самое говорится в Постановлении Правительства РФ от 12.06.2008 N 455 (ред. от 10.07.2020) "О порядке компенсации расходов на оплату стоимости проезда и провоза багажа к месту использования отпуска и обратно для лиц, работающих в федеральных государственных органах, государственных внебюджетных фондах Российской Федерации, федеральных государственных учреждениях, расположенных в районах Крайнего Севера и приравненных к ним местностях, и членов их семей"

11. Письменное заявление о компенсации расходов на оплату стоимости проезда и провоза багажа к месту использования отпуска и обратно представляется работником учреждения не позднее чем за 2 недели до начала отпуска.

12. Компенсация расходов производится учреждением исходя из примерной стоимости проезда на основании представленного работником учреждения заявления не позднее чем за 3 рабочих дня до отъезда работника в отпуск.

Для окончательного расчета работник учреждения обязан в течение 3 рабочих дней с даты выхода на работу из отпуска представить отчет о произведенных расходах с приложением подлинников проездных и перевозочных документов (билетов, багажных квитанций, других транспортных документов), подтверждающих расходы работника учреждения и членов его семьи. В случаях, предусмотренных настоящими Правилами, работником учреждения представляется справка о стоимости проезда, выданная транспортной организацией.