Могу ли я оплатить госпошлину на развод за своего ребёнка?

Можете, но в платежке нужно указать ее данные.

Не факт что у вас есть такое право. (на моё мнение, только при наличии доверенности представлять интересы сына (дочери) в суде и иных органах власти). см. НК РФ Статья 333.26. Размеры государственной пошлины за государственную регистрацию актов гражданского состояния и другие юридически значимые действия, совершаемые органами записи актов гражданского состояния и иными уполномоченными органами

1. За государственную регистрацию актов гражданского состояния и другие юридически значимые действия, совершаемые органами записи актов гражданского состояния и иными уполномоченными органами, государственная пошлина уплачивается в следующих размерах:

2) за государственную регистрацию расторжения брака, включая выдачу свидетельств:

при взаимном согласии супругов, не имеющих общих несовершеннолетних детей, - 650 рублей с каждого из супругов; (в ред. Федерального закона от 21.07.2014 N 221-ФЗ) (см. текст в предыдущей редакции)

при расторжении брака в судебном порядке - 650 рублей с каждого из супругов;

(в ред. Федерального закона от 21.07.2014 N 221-ФЗ) (см. текст в предыдущей редакции)

при расторжении брака по заявлению одного из супругов в случае, если другой супруг признан судом безвестно отсутствующим, недееспособным или осужденным за совершение преступления к лишению свободы на срок свыше трех лет, - 350 рублей; (в ред. Федерального закона от 21.07.2014 N 221-ФЗ) (см. текст в предыдущей редакции)

Оплатить можете, расторгнуть брак ваш ребенок имеет право сам.