Нужно ли разрешение от отца ребёнка на вывоз в Армению? Официально разведены с отцом.

Нет, если ребенок выезжает из России с матерью. См. ФЗ № 114 "О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию":

Статья 20. Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации может выехать из Российской Федерации совместно с одним из его законных представителей, если другим законным представителем не подано заявление о несогласии на такой выезд, предусмотренное частью первой статьи 21 настоящего Федерального закона.

Статья 21. Законный представитель несовершеннолетнего вправе заявить о несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации. При подаче заявления о несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации законный представитель несовершеннолетнего может указать срок действия такого заявления о несогласии и государство (государства), выезд в которое (которые) несовершеннолетнему гражданину Российской Федерации запрещается. При этом данный запрет не распространяется на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации из Российской Федерации в сопровождении являющегося гражданином Российской Федерации и заявившего о таком несогласии законного представителя несовершеннолетнего... В случае спора в связи с несогласием законного представителя несовершеннолетнего на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации вопрос о возможности его выезда из Российской Федерации разрешается в судебном порядке.

Ок нужно согласия от отца ребёнка.

Достаточно того, если мать едет с ребёнком.

В Армении выпустят нас без разрешения или нет?

Выпустят нас в Армении без разрешения отца или нет? Перед фактом не поставят?