Скажите, пожалуйста, имеет ли право педагог-организатор вести уроки?

Да, могут. Согласно пп. «в», «е» и «ж» п. 2 Постановления Минтруда РФ от 30.06.2003 N 41 "Об особенностях работы по совместительству педагогических, медицинских, фармацевтических работников и работников культуры" для педагогических работников не считаются совместительством и не требуют заключения (оформления) трудового договора следующие виды работ: - педагогическая работа на условиях почасовой оплаты в объеме не более 300 часов в год; - педагогическая работа в одном и том же учреждении начального или среднего профессионального образования, в дошкольном образовательном учреждении, в образовательном учреждении общего образования, учреждении дополнительного образования детей и ином детском учреждении с дополнительной оплатой; - преподавательская работа руководящих и других работников образовательных учреждений. При выполнении работ, не являющихся совместительством, заключать отдельный трудовой договор не нужно. Достаточно заключить дополнительное соглашение к трудовому договору по основной работе о том, что работник принимает на себя обязанность наряду с обусловленной трудовым договором трудовой функцией выполнять дополнительную работу. В соглашении следует указать конкретный вид работ, ее объем, срок выполнения, а также условия оплаты.