Как поменять фамилию в паспорте, если живешь на другой стороне России и потерял свидетельство о рождении?

Повторное свидетельство, в случае наличия сведений в Едином государственном реестре записей актов гражданского состояния, выдается в день обращения, в иных случаях повторное свидетельство (или иной документ, подтверждающий наличие или отсутствие записи акта) должно быть выдано вам не позднее чем через 30 дней.

Если вы гр. РФ, то получить дубликат Вы можете по месту нахождения (это гос. услуга, оказывается на всей территории РФ)

Оформите доверенность для получения дубликата документа.

Статья 9 ФЗ "Об актах гражданского состояния определяет":

1. В случае утраты, порчи, в других случаях отсутствия возможности использования свидетельства о государственной регистрации акта гражданского состояния, в том числе ветхости бланка свидетельства, нечитаемости текста и (или) печати органа записи актов гражданского состояния, ламинирования, орган записи актов гражданского состояния выдает повторное свидетельство о государственной регистрации акта гражданского состояния, ...

2. Повторное свидетельство о государственной регистрации акта гражданского состояния и иные документы, подтверждающие наличие или отсутствие факта государственной регистрации акта гражданского состояния, выдаются:

(в ред. Федерального закона от 02.07.2021 N 358-ФЗ)

лицу, в отношении которого была составлена запись акта гражданского состояния;

...

иному лицу в случае представления нотариально удостоверенной доверенности от лица, имеющего в соответствии с настоящей статьей право на получение повторного свидетельства о государственной регистрации акта гражданского состояния...

5. Подача в письменной форме запроса о выдаче повторного свидетельства о государственной регистрации акта гражданского состояния ...и выдача повторного свидетельства о государственной регистрации акта гражданского состояния... могут осуществляться через многофункциональный центр предоставления государственных и муниципальных услуг."

7. При получении повторного свидетельства о государственной регистрации акта гражданского состояния... в органе записи актов гражданского состояния или многофункциональном центре предоставления государственных и муниципальных услуг необходимо предъявить документ, удостоверяющий личность заявителя

Статья 333.26. НК РФ определяет размер государственной пошлины

6) за выдачу повторного свидетельства о государственной регистрации акта гражданского состояния - 350 рублей;

То есть подать заявление в орган ЗАГС можно лично, по почте, через МФЦ (в некоторых субъектах РФ) либо в форме электронного документа через Единый портал госуслуг (п. п. 4, 5 ст. 9 указанного Закона) с приложением квитанции об оплате госпошлины.

Обратите внимание, что заявление заполняется только по по форме № 25 (Приложение N 1 к Приказу Минюста РФ от 01.10.2018 N 201

(в ред. Приказа Минюста России от 25.10.2021 N 200).