Можно ли не подписывать контракт после отчисления из военного института и оставаться в институте как уволенный со сроком до окончания СВО?

В Вашем случае для бывшего курсанта наступают последствия, предусмотренные статьёй 35 ФЗ «О воинской обязанности и военной службе» №53-ФЗ от 28.03.98, а именно:

4. Военнослужащие мужского пола, отчисленные из военных профессиональных образовательных организаций и военных образовательных организаций высшего образования..., если к моменту отчисления из указанных образовательных организаций они достигли возраста 18 лет, не выслужили установленного срока военной службы по призыву и не имеют права на увольнение с военной службы, на освобождение или отсрочку от призыва на военную службу, направляются для прохождения военной службы по призыву.

То есть по общему правилу, в случае отчисления из военной академии граждане старше 18 лет, не выслужившие установленный срок службы по призыву, направляются служить по призыву.

На сегодняшний день озвученная изначально официальная позиция — военнослужащие срочной службы к участию в СВО не привлекаются не менялась, непосредственно в боевых действиях военнослужащие срочной службы участия не принимают, но они могут сами или под влиянием заключить контракт о прохождении военной службы, который содержит такие же обязательства по военной службе, как и контракт курсанта, и тогда место его службы будет определять командование.

Если Вы после отчисления стали срочником, то в боевых действиях формально участия принимать не должны, а если срочную службу Вы уже отслужили (с учётом обучения в академии в том числе), то вполне возможно, что Вас могут мобилизовть по всё ещё действующему Указу Президента РФ №647 от 21.09.22, а тогда служить отправить могут куда угодно, в этом случае ограничений для мобилизованных нет, они по своему статусу приравниваются к военнослужащим контрактной службы.