Может ли семья из 4 х человек продать свою квартиру, а через пол года подать на гжс как нуждающиеся в жилищных условиях?

СМ.

ЖК РФ Статья 53. Последствия намеренного ухудшения гражданами своих жилищных условий

Граждане, которые с намерением приобретения права состоять на учете в качестве нуждающихся в жилых помещениях совершили действия, в результате которых такие граждане могут быть признаны нуждающимися в жилых помещениях, принимаются на учет в качестве нуждающихся в жилых помещениях не ранее чем через пять лет со дня совершения указанных намеренных действий.

Т.о.,

такие действия с Вашей стороны могут быть признаны как намеренно ухудшающие жилищные условия, что является правовым основанием для отказа в постановке Вас на учёт в качестве нуждающихся в предоставлении жилого помещения по договору социального найма