В какой форме: пояснения, заявления или какой-либо другой нужно оформить эту заключительную письменную часть и к кому её обратить?

Ваш вопрос из области теоретизирования и не имеет ничего общего с практикой процесса. Дело в том, что не случайно в ст. 190 ГПК РФ содержится фраза о том, что судебные прения состоят из РЕЧЕЙ лиц, участвующих в деле, их представителей.

В этой стадии процесса участники прений анализируют результаты исследования доказательств, указывают на обстоятельства дела, которые, по их мнению, нашли подтверждение, опровергают наличие иных обстоятельств, формулируют свой взгляд на правоотношения сторон и на закон, регулирующий эти отношения, и в завершение высказывают суждение о том, какое решение должно быть принято судом по рассмотренному делу. Прения - это результат того, что вы услышите и увидите во время процесса, т.е. подведение итогов процесса. Вряд ли это можно изложить письменно до заседания суда, а на заседании никто вам не предоставит время для написания речей во время прений, ГПК это не предусматривает. Причем, выступление в судебных прениях это право стороны и от него можно отказаться.

С уважением,

Дополнительно к данному ответу, поясняю. Как правило, перед прением сторон, а это самостоятельная стадия процесса, суд выясняет мнение сторон: необходимо ли время для подготовки к прениям. Т.е. возможность подготовки своего выступления в письменном видене исключена. Такие письменные выступления практикуются при производстве в Конституционном Суде РФ.