Обратившись в организацию, оказавшей услугу по эвакуации, чек мне не дали сославшись на истекший период.

Уважаемый Александр! С сотрудников ГИБДД ничего не взыщите, ибо нет прямой причинной связи между Вашими расходами и их действиями. Неясно: о каком моральном вреде Вы говорите? Если речь идет о водителе другой машины, то Вы вправе в суде поставить вопрос о взыскании с него компенсации морального вреда, причем независимо от его вины ( ст.1100 Гражданского кодекса РФ). Если в отношении сотрудников ГИБДД или фирмы, оказывающей услуги по эвакуации, то оснований требовать компенсацию морального вреда я не вижу.

В отношении невыдачи чека - формально это правонарушение, однако срок давности привлечения к административной ответственности ( 2 месяца со дня совершения правонарушения) уже истек, и сотрудников фирмы за невыдачу кассового чека уже к административной ответственности не привлечешь. Возможно, они могут выдать Вам справку о том, что получили от Вас определенную сумму за услуги по эвакуации - для суда этот документ будет доказательством. Если же они будут отрицать сам факт эвакуации, боюсь, что доказать в суде данный факт будет невозможно.

Теоретически ( в части не покрытой выплатой страховой суммы) Вы вправе требовать взыскания убытков ( ст.15 Гражданского кодекса РФ) с причинителя вреда, однако факт наличия улучшений и оценку сумму улучшений в суде обязаны будете доказывать именно Вы. При отсутствии таких доказательств суд вряд ли удовлетворит иск. Формально суд может использовать свидетельские показания, но судьи на практике не любят обосновывать решения по таким делам свидетельскими показаниями, требуя документального подтвердения. Теоретически можно просить суд о назначении судебно-автотехнической экспертизы (но боюсь, что она обойдется дороже, чем сумма возможного присуждения)