Может ли начальник учреждения отказать в переводе по семейным обстоятельствам?

В данном случае начальник учреждения не имеет оснований отказать в удовлетворении рапорта о переводе на другое место службы.

Согласно п. 7 Порядка назначения на должности рядового состава, младшего, среднего и старшего начальствующего состава в уголовно-исполнительной системе Российской Федерации, утв. Приказом Министерства юстиции РФ от 5 августа 2021 г. N 132 "Об организации прохождения службы в уголовно-исполнительной системе Российской Федерации", перевод сотрудника в иное учреждение или орган УИС согласовывается с уполномоченным руководителем по месту службы сотрудника.

В соответствии с абзацем четвёртым п. 8 Порядка отказ по месту службы сотрудника в удовлетворении рапорта о его переводе в иное учреждение или орган УИС не допускается в случае изменения места службы супруга(ги)-военнослужащего(ей), связанного с необходимостью переезда семьи в другую местность (www.consultant.ru ).

Представляется, что Вам целесообразно указать начальнику на это обстоятельство. Возможно, лучше донести эту информацию до него не лично, а действуя через сотрудников кадровой или юридической службы. Если всё же в итоге начальник не удовлетворит рапорт, то у Вас есть основания для обжалования его решения в административном - в региональное управление ФСИН - или судебном порядке.