Надо ли писать заявление государственному гражданскому служащему ДНР при ликвидации государственного органа?

Нет, заявление писать не нужно. Издается приказ о ликвидации органа, вам в трудовую вносят запись, что "уволен в связи с ликвидацией органа..."

Не советую писать заявление на увольнение по соственному желанию, потому ваши "кадры" луковят, ведь увольнение по ликвидации дает ряд бонусов:

Федеральный закон от 31.07.1995 N 119-ФЗ (ред. от 27.05.2003) "Об основах государственной службы Российской Федерации"

Статья 16. Правовое положение государственного служащего при ликвидации и реорганизации государственного органа

1. При ликвидации государственного органа или сокращении его штата государственному служащему в случае невозможности предоставления работы в том же государственном органе должна быть предложена другая государственная должность государственной службы в другом государственном органе с учетом его профессии, квалификации и занимаемой ранее должности.

2. При невозможности трудоустройства государственному служащему, заключившему трудовой договор на неопределенный срок, гарантируются переподготовка (переквалификация) с сохранением на период переподготовки (переквалификации) денежного содержания по занимаемой до увольнения государственной должности государственной службы и непрерывного трудового стажа, а также предоставление возможности замещения иной государственной должности государственной службы.

При увольнении в связи с ликвидацией государственного органа или сокращении штата государственному служащему выплачивается средний заработок по ранее занимаемой должности в течение трех месяцев (без зачета выходного пособия). В случае непредоставления государственному служащему работы в соответствии с его профессией и квалификацией государственный служащий остается в реестре государственных служащих (с указанием в резерве) с сохранением в течение года непрерывного стажа государственной службы.