Он в свою очередь натравил на меня родителей, которые задают теперь вопрос: почему у школы договор со мной, а тренировал он?

у Вас трехсторонний договор просто получился. никаких санкций к Вам применено быть не может если он был исполнен сторонами

ГК РФ Статья 432. Основные положения о заключении договора

Позиции высших судов по ст. 432 ГК РФ >>>

Когда и как договор признается незаключенным

Каковы последствия признания договора незаключенным

1. Договор считается заключенным, если между сторонами, в требуемой в подлежащих случаях форме, достигнуто соглашение по всем существенным условиям договора.

Каковы существенные условия договора возмездного оказания услуг

Какие условия договора являются существенными

Существенными являются условия о предмете договора, условия, которые названы в законе или иных правовых актах как существенные или необходимые для договоров данного вида, а также все те условия, относительно которых по заявлению одной из сторон должно быть достигнуто соглашение.

КонсультантПлюс: примечание.

О выявлении конституционно-правового смысла п. 2 ст. 432 см. Постановление КС РФ от 23.12.2022 N 57-П.

При каких условиях договор считается заключенным

Как правильно обменяться офертой и акцептом, чтобы договор считался заключенным

2. Договор заключается посредством направления оферты (предложения заключить договор) одной из сторон и ее акцепта (принятия предложения) другой стороной.

3. Сторона, принявшая от другой стороны полное или частичное исполнение по договору либо иным образом подтвердившая действие договора, не вправе требовать признания этого договора незаключенным, если заявление такого требования с учетом конкретных обстоятельств будет противоречить принципу добросовестности (пункт 3 статьи 1).