Есть у неё законное право на это или ребенок должен выписаться и быть прописан вместе с мамой.

Если строго по закону - ребёнка надо снимать с регистрации и регистрировать в квартире матери.

Мать к ребенку прописаться не сможет.

сможет, судебная практика на стороне ребёнка

https://pravo.ru/story/240803/

Тройка судей под председательством Юрия Москаленко отметила, что несовершеннолетние приобретают право на жилплощадь по соглашению родителей (дело № 4-КГ22-3-К1). Результат такого соглашения — регистрация ребенка в квартире. На ее основании ребенок может пользоваться жилым помещением независимо от того, вселился ли он туда.

Нижестоящие инстанции не учли, что Настя, как член семьи Качкина, получила право пользоваться спорной квартирой по договору соцнайма. Но пока в силу возраста девочка не может самостоятельно реализовать свои жилищные права.

Суды не установили, что у Насти появилось право пользоваться другим жилым помещением. Поэтому ошибочен вывод о производности прав ребенка от прав отца. То, что отец выехал из спорной квартиры, не прекращает право дочери пользоваться ею.

ВС отменил решения нижестоящих инстанций и направил дело на новое рассмотрение в Балашихинский горсуд Московской области (дело № 2-4022/2022). Во время нового рассмотрения Качкин отказался от своего иска, поэтому судья Татьяна Двухжилова прекратила производство по делу.

Пленум Верховного Суда Российской Федерации в пункте 14 постановления от 2 июля 2009 г. N 14 «О некоторых вопросах, возникших в судебной практике при применении Жилищного кодекса Российской Федерации» разъяснил, что в силу положений Семейного кодекса Российской Федерации об ответственности родителей за воспитание и развитие своих детей, их обязанности заботиться об их здоровье, физическом, психическом, духовном и нравственном развитии расторжение брака родителей,признание его недействительным или раздельное проживание родителей не влияют на права ребенка (пункт 1 статьи 55, пункт 1 статьи 63 Семейного кодекса Российской Федерации), в том числе на жилищные права.

Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, признается место жительства их законных представителей - родителей (ч.2 ст.20 ГК РФ).

У матери нет законного права на регистрацию в квартире отца, так как она не была вселена им в жилое помещение.

ребёнка надо снимать с регистрации и регистрировать в квартире матери.

Статья 20 Гражданского кодекса:

Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей

Елена,

законные представители н/л ребёнка - родители. Поскольку отец мальчика умер, то он должен быть зарегистрирован (прописан) по адресу регистрации матери.

мать ищет возможность зарегистрироваться по адресу регистрации своего несовершеннолетнего сына, который был зарегистрирован вместе с отцом

- такой возможности нет. К тому же это ничего не даст, ГЖС - именной сертификат и был оформлен на имя бывшего мужа.

Квартира была предоставлена бывшему мужу по социальному найму?

Граждане, которые только зарегистрированы в жилом помещении в доме, признанном аварийным, не имеют права на переселение из него с предоставлением другого жилого помещения либо получением возмещения за изымаемое жилое помещение. Таким правом обладают собственники таких жилых помещений либо граждане, занимающие жилые помещения по договорам социального найма.