Могут ли меня выгнать на улицу или я смогу вступить в наследство?

Вам нужно обратиться в местную администрацию для заключения с Вами договора социального найма. Скорее всего Вам откажут, поскольку Вы в квартире не зарегистрированы. Получив отказ обращайтесь в суд с иском о заключении договора социального найма. Отец как наниматель квартиры имел право вселить в нее иного члена семьи, что он и сделал . Если площадь квартиры позволяла это сделать и иные проживающие в квартире не были против, то администрация не могла отказать во вселении.

"Наниматель с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, вправе вселить в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма своего супруга, своих детей и родителей или с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, и наймодателя - других граждан в качестве проживающих совместно с ним членов своей семьи. Наймодатель может запретить вселение граждан в качестве проживающих совместно с нанимателем членов его семьи в случае, если после их вселения общая площадь соответствующего жилого помещения на одного члена семьи составит менее учетной нормы" (ч.1 ст.70 Жилищного кодекса РФ)

Фактическое вселение Вы можете подтвердить свидетельскими показаниями. После смерти нанимателя правом на заключение договора пользуются оставшиеся проживающие члены семьи умершего.

"Дееспособный член семьи нанимателя с согласия остальных членов своей семьи и наймодателя вправе требовать признания себя нанимателем по ранее заключенному договору социального найма вместо первоначального нанимателя. Такое же право принадлежит в случае смерти нанимателя любому дееспособному члену семьи умершего нанимателя" (ч.2 ст.82 Жилищного кодекса РФ).

Наследственным имуществом муниципальная квартира не является, но после заключения с Вами договора социального найма Вы сможете ее приватизировать.