Отказ в выдаче справки по форме 9 законному представителю ребенка-собственника

В вашей ситуации отказ, скорее всего, незаконен: как мать вы являетесь законным представителем ребёнка до 18 лет и вправе действовать от его имени по всем вопросам, связанным с его имуществом и регистрацией, в том числе получать справку по форме № 9, даже если сами по этому адресу не зарегистрированы. Орган регистрации может проверять ваши полномочия (паспорт, свидетельство о рождении, документ о смене фамилии и т.п.), но он не вправе ставить выдачу справки в зависимость от вашей прописки, если собственник-ребёнок зарегистрирован в этой квартире.

Практически: подайте письменное заявление на имя начальника подразделения с указанием, что действуете как законный представитель собственника-несовершеннолетнего, попросите выдать форму № 9 либо дать письменный отказ с указанием правового основания; при отказе обжалуйте действия в вышестоящее подразделение МВД/администрацию или прокуратуру, параллельно можно попросить отца (зарегистрированного в квартире) запросить ту же справку.

Отказали законно, нет регистрации - вы там не живёте.

Если проживаете фактически- регистрируете место пребывания.

Форма 9 отменена (справка о составе семьи), её не должны вообще оформлять.

Вместо неё можно получить адресную справку о всех зарегистрированных по адресу (приложение № 18 к приказу МВД России от 23 декабря 2022 г. N 984)

Жалобу в региональное МВД РФ подайте.

могла быть представителем несовершеннолетнего

Форму 9 вы в принципе не можете взять в паспортном столе. Её на данный момент не существует.