Можно ли отправить ходатайство с простой электронной подписью через Почту России?

Через ГАС «Правосудие» полноценные процессуальные документы (в т.ч. ходатайство о приостановлении исполнения решения) действительно нужно подавать, как правило, с усиленной квалифицированной ЭП, иначе суд вправе считать документ неподписанным и не принимать. Через сервис «Почта России онлайн» письмо для суда фактически идёт как обычное почтовое отправление на бумаге (они распечатывают и везут), поэтому простая электронная подпись в их приложении тут значения не имеет: вы просто подписываете само ходатайство на бумаге (или скане, который они распечатают), и суд получает его как обычное почтовое письмо — это допустимо, и оплатить отправку можно с карты жены, ограничений на это нет. Усиленной квалифицированной подписью нужно подписывать все процессуальные документы, которые вы подаёте именно в электронном виде через ГАС «Правосудие»/«Мой арбитр»/иногда Госуслуги, если эти системы требуют УКЭП: заявления, ходатайства, жалобы, возражения и т.п.; без УКЭП через эти системы суд может оставить документ без движения или вернуть, а «прокатить» без УКЭП обычно могут только обращения информационного характера (запросы, уточнения, направление копий для сведения), которые не оформляются как полноценные процессуальные документы.

Через ГАС Правосудие только через УКЭП.