Могут ли меня аттестовать и оставить на работе при неподтвержденном дипломе?

Здравствуйте! Нет, аттестовать и оставить вас на рабочем месте вопреки желанию работодателя в данной ситуации нельзя. Если для вашей должности по закону или должностной инструкции обязательно высшее образование, работодатель имеет полное юридическое право уволить вас. Незаконченное высшее образование не заменяет диплом специалиста или бакалавра и не позволяет пройти профессиональную аттестацию на соответствие такой должности.

Это всё зависит от работодателя. Но если, "работодатель предлагает уволиться по собственному желанию", то вряд ли Вас оставят.

Можете не увольняться. Получите судимость по ч.3 ст. 327 УК РФ, уволят по п.11 ч.1 ст. 81 ТК РФ (по статье, так что вряд ли потом устроитесь в более-менее приличное место). Кроме этого, могут по суду взыскать з/п за все 16 лет (но это не точно, зависит от суда и квалификации вашего адвоката, тут примерно 50/50, иногда суды взыскивают, а иногда нет, признают исполнение трудовых обязанностей добросовестным).

P.S. Раз вам предложили уволиться, лучше это сделайте, и чем быстрее, тем лучше, т.к. если руководство о вас сообщит в полицию, для них это одна из самых простых и лёгких "палок", подарок дознавателю

Смотря что за работа и должность. Если это государственная или муниципальная служба, то могут и уголовное дело возбудить по ст. 327 УК, так что оцените риски заблаговременно.

По незаконченному образованию надо опять же смотреть место работы и должность. Где-то возможно переаттестовать, а где-то нет

С юридической точки зрения незаконченное высшее образование не является полноценным высшим образованием и не дает права занимать должности, где требуется диплом. Законодательство рассматривает его как отдельный уровень, который подтверждается справкой из вуза (академической справкой), а не дипломом.

Если для вашей должности обязательно наличие диплома о высшем образовании (это должно быть прямо прописано в законе или профстандарте), то ваше незаконченное образование здесь не поможет. Если же диплом был просто "пожеланием", а не строгим требованием, у работодателя будет меньше оснований для увольнения по п. 11 ст. 77 ТК РФ.