Обязан ли внук помогать мне или платить за проживание, если я инвалид и он живёт у меня?

Обязанности внука помогать вам материально или платить за проживание по закону нет: алиментная обязанность внуков перед бабушками и дедушками возникает только при наличии одновременно нескольких условий — у вас нет супруга, детей или родителей, которые обязаны вас содержать, внук совершеннолетний и трудоспособный, и он сам обладает достаточными средствами (ст. 94 Семейного кодекса РФ). При этом даже при выполнении всех условий помощь взыскивается только через суд и только если вы признаны нуждающейся в помощи. Сам по себе факт инвалидности, как и факт проживания внука в вашем доме, такой обязанности не создаёт.

Отказ дать 500 рублей в долг — это вообще не юридический вопрос, а личные отношения; заставить кого-то дать взаймы нельзя, и никакой ответственности за такой отказ закон не предусматривает. Что касается проживания внука в пристройке — здесь важно разделить два момента. Если пристройка самовольная и возведена без вашего согласия, вы как собственник дома вправе требовать устранения нарушений ваших прав (ст. 304 ГК РФ), вплоть до выселения и сноса постройки через суд. Но если вы сами прописали одного внука и не возражали против проживания других, то вопрос об оплате за проживание — это договорные отношения: плату можно требовать только если вы заключили с ними договор найма или хотя бы устно договорились о платежах, иначе это безвозмездное пользование (ст. 689 ГК РФ).

Отдельно отмечу: то, что внучка и внук живут без прописки, само по себе не делает их проживание незаконным, если вы как собственник не возражаете. Прописка (регистрация) — это учётный механизм, а не право на жильё. Если же вы хотите, чтобы они съехали или платили, вам нужно сначала направить им письменное требование об освобождении жилья или о заключении договора с оплатой, и только при отказе обращаться в суд.