Вопрос о том, возможно ли выиграть это дело в суде, какие аргументы помогут, как написать заявление?

Виктор, поскольку Ваши семейные отношения прекратились, то все, что связано с пользованием Вашей квартирой, регулируется пунктами 4-6 статьи 31 ЖК РФ. Согласно данным правилам, право пользования Вашей квартирой у Вашей бывшей девушки прекратилось.

Выселить ее Вы можете лишь по решению суда (иное запрещено п.4 ст. 3 ЖК РФ). Однако, по ее требованию суд, с учетом того, что у нее отсутствует право пользования другим жилым помещением, может сохранить ей право пользования Вашей квартирой на определенный срок, а так же обязать Вас предоставить другое жилое помещение Вашей девушке и ребенку. Стоит заметить, что закон не устанавливает правового основания такого предоставления, поэтому я полагаю, что такое жилое помещение не обязательно покупать, достаточно снять по договору найма, который будет заключен Вами с собственником в ее пользу.

Другой вариант состоит в том, чтобы продать свою квартиру любому третьему лицу. В таком случае Вы не обязаны ни испрашивать согласия у совместно проживающих с Вами лиц, ни обеспечивать их иным жильем, их право пользования прекращается одновременно с прекращением Вашего права собственности. Однако, здесь стоит задуматься об этичности такого способа решения проблемы.