Скажите, пожалуйста, могу ли я сделать это только по месту прописки отца ребенка, либо по месту своей прописки?

Заявление подается по месту заявителя, т.е. Вас.

Срок может затянутся на долго, может и на месяц. Смотря какие действия может применить признаваемый отец.

Гражданско процессуальный кодекс.

Статья 266. Подача заявления об установлении факта, имеющего юридическое значение

Заявление об установлении факта, имеющего юридическое значение, подается в суд по месту жительства заявителя, за исключением заявления об установлении факта владения и пользования недвижимым имуществом, которое подается в суд по месту нахождения недвижимого имущества.

Статья 167. Последствия неявки в судебное заседание лиц, участвующих в деле, их представителей

1. Лица, участвующие в деле, обязаны известить суд о причинах неявки и представить доказательства уважительности этих причин.

2. В случае неявки в судебное заседание кого-либо из лиц, участвующих в деле, в отношении которых отсутствуют сведения об их извещении, разбирательство дела откладывается.

В случае, если лица, участвующие в деле, извещены о времени и месте судебного заседания, суд откладывает разбирательство дела в случае признания причин их неявки уважительными.

3. Суд вправе рассмотреть дело в случае неявки кого-либо из лиц, участвующих в деле и извещенных о времени и месте судебного заседания, если ими не представлены сведения о причинах неявки или суд признает причины их неявки неуважительными.

4. Суд вправе рассмотреть дело в отсутствие ответчика, извещенного о времени и месте судебного заседания, если он не сообщил суду об уважительных причинах неявки и не просил рассмотреть дело в его отсутствие.

5. Стороны вправе просить суд о рассмотрении дела в их отсутствие и направлении им копий решения суда.

6. Суд может отложить разбирательство дела по ходатайству лица, участвующего в деле, в связи с неявкой его представителя по уважительной причине.