Как решить проблему прописки - возможность подачи заявления в суд в другом регионе

Николай, так Вы сделать не можете.

Частью 2 статьи 254 ГПК РФ предусмотрена альтернативная подсудность для заявителей-граждан. Вы вправе по своему усмотрению подать заявление об оспаривании решения об отказе, которое было вынесено в Бурятии по месту своего жительства. Но оно будет вынесено только касаемо Бурятии, т.к. именно там были нарушены Ваши права. В Якутии же Ваши права не нарушали.

Вам отказали в Бурятии, Вы хотите оспорить отказ в Якутии оспаривайте, в соответствии со ст. 254 ГПК РФ заявление подается в суд по подсудности, установленной статьями 24 - 27 настоящего Кодекса. Заявление может быть подано гражданином в суд по месту его жительства или по месту нахождения органа государственной власти, органа местного самоуправления, должностного лица, государственного или муниципального служащего, решение, действие (бездействие) которых оспариваются.

В соответствии со статьей 255 ГПК Российской Федерации к решениям, действиям (бездействию) органов местного самоуправления, должностных лиц, оспариваемым в порядке гражданского судопроизводства, относятся коллегиальные и единоличные решения и действия (бездействие), в результате которых: нарушены права и свободы гражданина; созданы препятствия к осуществлению гражданином его прав и свобод. Частью 1 статьи 256 ГПК Российской Федерации установлено, что гражданин вправе обратиться в суд с заявлением в течение трех месяцев со дня, когда ему стало известно о нарушении его прав и свобод.

Но решать вопрос о постановки на учет в Якутии нужно отдельно от обжалования отказа.