Является ли она его родственником или после развода она стала по отношению к отцу посторонним человеком?

Уважаемый Олег! Ваш отец прав в своём стремлении осуществить договор дарения в этом году, т.к именно в этом году Ваша мать при дарении не будет платить налог на дарение, если она и бывшем мужем вместе зарегистрированы в указанной квартире, долю в которой отец намерен ей подарить(при любой форме договора дарения-ст.4 Закона РФ №2020-1 "О налоге с имущества, переходящего в порядке наследования или дарения"). Если же предположить, что бывшие супруги вместе не зарегистрированы по месту жительства в указанной квартире, то только в этом году можно избежать уплаты матерью налога на дарение, осуществив договор дарения в простой письменной форме без нотариального удостоверения с последующей его регистрацией в федеральной регистрационной службе(ст.5 названного выше Закона РФ №2020-1). А вот при осуществлении дарения в 2006г. матери в любом случае придётся платить налог на дарение(13% от стоимости подаренной доли по данным БТИ- п.18.1 ст.217 НК РФ, вступающий в силу с 1 января 2006г), если только до дарения брак с отцом она снова не зарегистрирует, т.к Ваш отец не может быть её близким родственником(сыном, отцом, дедом, полнородным или неполнородным братом), т.к браки между близкими родственниками запрещены по закону, а в браке они раньше состояли. Наше законодательство родство считает по крови, поэтому супруги редко бывают родственниками, разве что двоюродными. В новом году освобождаются от уплаты налога на дарение доходы, полученные в том случае, если даритель и одаряемый являются членами семьи и (или) близкими родственниками в соответствии с Семейным кодексом Российской Федерации (супругами, родителями и детьми, в том числе усыновителями и усыновленными, дедушкой, бабушкой и внуками, полнородными и неполнородными (имеющими общих отца или мать) братьями и сестрами).