Парень, переехавший на ПМЖ в Сочи из Абхазии и отслуживший там, должен ли служить снова в Российской армии?

Нет, в российскую армию его уже не призовут.

От призыва в ВС РФ Вас не освободят.

С 1 августа вступили в действие изменения в Закон, согласно которым после принятия гражданства РФ он будет призван в армию, если у него нет иных причин для отсрочки согласно наших Законов. С Республикой Абхазии у нас нет соответствующего договора, а поэтому он будет служить второй раз, если конечно еще не достиг возраста 27 лет и годен по здоровья

Статья 23. Освобождение от призыва на военную службу. Граждане, не подлежащие призыву на военную службу

( в ред. Федерального закона от 19.07.2001 N 102-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

1. От призыва на военную службу освобождаются граждане:

г) прошедшие военную службу в другом государстве в случаях, предусмотренных международными договорами Российской Федерации;

(пп. "г" в ред. Федерального закона от 07.06.2013 N 111-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

д) - е) исключены. - Федеральный закон от 19.07.2001 N 102-ФЗ.

В настоящее время существует только одно международное соглашение - Соглашение между Российской Федерацией и Туркменистаном об урегулировании вопросов двойного гражданства (Ашгабат, 23 декабря 1993 г.), в соответствии с которым лица, состоящие в гражданстве обеих Сторон и прошедшие обязательную военную службу в одной из них, освобождаются от призыва на военную службу в другой Стороне.