Возможно ли найти квартиру, заключив договор и оплатив 4000 рублей?

Нет, нельзя. И не нужны Вам никакие базы. Всё есть в интернете, на Авито и в Из рук в руки. В газете есть прямые объявления от собственников. Нужна будет помощь в заключении договора-звоните. И проверяйте сами собственников,у которых намерены снять квартиру:запрашивайте выписки из ЕГРП, документы истребуйте! Не снимайте муниципальное жильё и у наследников, не оформивших прав. А лучше-обратитесь к специалисту(юристу) для сопровождения сделки, заключения договора имущественного найма(аренды).Удачи!