Упавшая груша соседей привела к протеканию крыши моего сарая - как получить компенсацию и разрешить проблему с опасным деревом?

Обращайтесь в суд в порядке гражданского судопроизводства о возмещении убытков.

Статья 15 ГК РФ Возмещение убытков

1. Лицо, право которого нарушено, может требовать полного возмещения причиненных ему убытков, если законом или договором не предусмотрено возмещение убытков в меньшем размере.

2. Под убытками понимаются расходы, которые лицо, чье право нарушено, произвело или должно будет произвести для восстановления нарушенного права, утрата или повреждение его имущества (реальный ущерб), а также неполученные доходы, которые это лицо получило бы при обычных условиях гражданского оборота, если бы его право не было нарушено (упущенная выгода).

Если лицо, нарушившее право, получило вследствие этого доходы, лицо, право которого нарушено, вправе требовать возмещения наряду с другими убытками упущенной выгоды в размере не меньшем, чем такие доходы.

Галина Ивановна, советую Вам обращаться в суд с иском о возмещении материального ущерба. У Вас есть на это полное право. За причинение материального вреда гражданское законодательство РФ (в частности, ст. 1064 ГК РФ) предусматривает законную ответственность, а именно: за причиненный самому гражданину или его имущественному состоянию вред (в том числе и за ущерб, нанесенный имуществу), виновный должен в полном объеме возместить этот вред (ущерб)

Галина Ивановна, собственник частных домовладений обязан в пределах землеотвода содержать в порядке земельный участок, зеленые насаждения и обеспечить надлежащее состояние прилегающей к домовладению территории, производить уборку ее от мусора, окос травы.

Для начала обратитесь в местную администрацию с заявлением.

И в дальнейшем для компенсации ущерба с иском в суд.

Удачи.