Может ли быть членом правления и председателем ЖСК не собственник квартиры и не прописанный в данном доме?

Нет, не может.

Если данный гражданин является членом ЖСК, то имеет право быть членом правления и председателем ЖСК

Статья 111. Право на вступление в жилищные кооперативы

1. Членом жилищного кооператива может быть:

1) гражданин, достигший возраста шестнадцати лет;

2) юридическое лицо в случае, установленном законодательством Российской Федерации;

3) юридическое лицо, являющееся собственником помещения в многоквартирном доме, в случае, если жилищный кооператив осуществляет управление общим имуществом в этом многоквартирном доме.

2. Категории граждан, указанных в статье 49 настоящего Кодекса, имеют преимущественное право на вступление в жилищные кооперативы, организованные при содействии органов государственной власти Российской Федерации, органов государственной власти субъектов Российской Федерации или органов местного самоуправления.

Статья 116.1. Требования к должностным лицам жилищного кооператива

Членами правления жилищного кооператива (в том числе председателем правления кооператива), членом ревизионной комиссии (ревизором) кооператива, а также главным бухгалтером (бухгалтером при отсутствии в штате главного бухгалтера) кооператива не могут являться граждане:

1) имеющие судимость за умышленные преступления;

2) в отношении которых не истек срок, в течение которого они считаются подвергнутыми административному наказанию в виде дисквалификации;

3) которые ранее занимали должности руководителя, его заместителя или главного бухгалтера (бухгалтера при отсутствии в штате главного бухгалтера) организации, осуществлявшей деятельность в сфере строительства, реконструкции, капитального ремонта объектов капитального строительства, инженерных изысканий для строительства, архитектурно-строительного проектирования, либо являлись индивидуальными предпринимателями, осуществлявшими деятельность в указанных сферах, если такие организация, индивидуальные предприниматели были исключены из членов саморегулируемых организаций в области инженерных изысканий, архитектурно-строительного проектирования, строительства, реконструкции, капитального ремонта объектов капитального строительства или признаны несостоятельными (банкротами) и с момента таких исключения или завершения соответствующей процедуры, применяемой в деле о несостоятельности (банкротстве), прошло менее чем три года.

Статья 119. Председатель правления жилищного кооператива

1. Председатель правления жилищного кооператива избирается правлением жилищного кооператива из своего состава на срок, определенный уставом жилищного кооператива.

2. Председатель правления жилищного кооператива:

1) обеспечивает выполнение решений правления кооператива;

2) без доверенности действует от имени кооператива, в том числе представляет его интересы и совершает сделки;

3) осуществляет иные полномочия, не отнесенные настоящим Кодексом или уставом кооператива к компетенции общего собрания членов кооператива (конференции) или правления кооператива.

3. Председатель правления жилищного кооператива при осуществлении прав и исполнении обязанностей должен действовать в интересах кооператива добросовестно и разумно.