Обязан ли я вставать на учет в центре занятости, в Трудовом законодательстве об этом ничего нет?

Действительно не обязаны. Просто если не сможете устроиться в течение двух месяцев, потеряете возможность получить выплату за третий.

ТК РФ.

" Статья 178. Выходные пособия

При расторжении трудового договора в связи с ликвидацией организации (пункт 1 статьи 81) либо сокращением численности или штата работников организации (пункт 2 статьи 81) увольняемому работнику выплачивается выходное пособие в размере среднего месячного заработка, а также за ним сохраняется средний месячный заработок на период трудоустройства, но не свыше двух месяцев со дня увольнения (с зачетом выходного пособия).

В исключительных случаях средний месячный заработок сохраняется за уволенным работником в течение третьего месяца со дня увольнения по решению органа службы занятости населения при условии, если в двухнедельный срок после увольнения работник обратился в этот орган и не был им трудоустроен".