Как комиссия по делам несовершеннолетних может поставить мать на учёт, основываясь только на одном необоснованном обращении отца?

Нет не имеют права. Она может обратиться в прокуратуру.

Статья 22. Полномочия прокурора

[Закон "О Прокуратуре РФ"] [Глава 1] [Статья 22]

1. Прокурор при осуществлении возложенных на него функций вправе:

по предъявлении служебного удостоверения беспрепятственно входить на территории и в помещения органов, указанных в пункте 1 статьи 21 настоящего Федерального закона, иметь доступ к их документам и материалам, проверять исполнение законов в связи с поступившей в органы прокуратуры информацией о фактах нарушения закона;

требовать от руководителей и других должностных лиц указанных органов представления необходимых документов, материалов, статистических и иных сведений; выделения специалистов для выяснения возникших вопросов; проведения проверок по поступившим в органы прокуратуры материалам и обращениям, ревизий деятельности подконтрольных или подведомственных им организаций;

вызывать должностных лиц и граждан для объяснений по поводу нарушений законов.

2. Прокурор или его заместитель по основаниям, установленным законом, возбуждает производство об административном правонарушении, требует привлечения лиц, нарушивших закон, к иной установленной законом ответственности, предостерегает о недопустимости нарушения закона.

3. Прокурор или его заместитель в случае установления факта нарушения закона органами и должностными лицами, указанными в пункте 1 статьи 21 настоящего Федерального закона:

освобождает своим постановлением лиц, незаконно подвергнутых административному задержанию на основании решений несудебных органов;

опротестовывает противоречащие закону правовые акты, обращается в суд или арбитражный суд с требованием о признании таких актов недействительными;

вносит представление об устранении нарушений закона.

4. Должностные лица органов, указанных в пункте 1 статьи 21 настоящего Федерального закона, обязаны приступить к выполнению требований прокурора или его заместителя о проведении проверок и ревизий незамедлительно.