Возможность включения записи о работе на сдельных условиях в трудовую книжку - статья Трудового кодекса РФ

Любой трудовой договор должен быть внесёт записью о работе в ТК, независимо от того на какой срок он заключен. В вашем же случае имеет место фактически бессрочный договор - вот такие продления доказывают постоянный характер работы. Если например работодатель вдруг не заключит договор на следующий месяц вы можете принудить его в суд. порядке, признав незаконным его действия.

Трудовые книжки должны вестись в обязательном порядке во всех организациях независимо от форм собственности на каждого работника, проработавшего в организации свыше пяти дней, в случае, если работа в этой организации является для работников основной. (Ст. 66 ТК) Сведения о работе по совместительству заносятся по желанию работника.