Можно ли продолжать ездить после истечения срока страховки ОСАГО за 3 месяца и на какой период?

Нет, продление не предусмотрено даже для более длительных договоров. Лучше не рисковать. Если попадете на ГИБДД, то административная ответственность -

Далее статья КоАП РФ.

Статья 12.37. Несоблюдение требований об обязательном страховании гражданской ответственности владельцев транспортных средств

ГАРАНТ:

При совершении данного правонарушения в соответствии со статьей 27.13 настоящего Кодекса запрещается эксплуатация транспортного средства, при этом государственные регистрационные знаки подлежат снятию до устранения причины запрещения эксплуатации.

1. Управление транспортным средством в период его использования, не предусмотренный страховым полисом обязательного страхования гражданской ответственности владельцев транспортного средства, а равно управление транспортным средством с нарушением предусмотренного данным страховым полисом условия управления этим транспортным средством только указанными в данном страховом полисе водителями -

влечет наложение административного штрафа в размере пятисот рублей.

2. Неисполнение владельцем транспортного средства установленной федеральным законом обязанности по страхованию своей гражданской ответственности, а равно управление транспортным средством, если такое обязательное страхование заведомо отсутствует, -

влечет наложение административного штрафа в размере восьмисот рублей.

И последствия в случае ДТП вы понимаете, я думаю.