Как оформить прописку в другом городе без наличия паспорта - возможные варианты и решения

Никак, только лично ему могут дать его паспорт.

Что касается регистрации, то можно по месту новой регистрации места проживания оформить снятие.

Про затвердження Порядку реєстрації місця проживання та місця перебування фізичних осіб в Україні та [...]

МВС України; Наказ, Порядок, Картка [...] від 22.11.2012 № 1077

2.7. У разі здійснення реєстрації місця проживання з одночасним зняттям з реєстрації попереднього місця проживання до територіального підрозділу ДМС України, на території обслуговування якого було зареєстроване попереднє місце проживання особи, у той же день надсилається письмове повідомлення про зняття особи з реєстрації місця проживання (додаток 12) та талон зняття з реєстрації місця проживання в Україні. У разі здійснення реєстрації місця проживання з одночасним зняттям з реєстрації попереднього місця проживання в межах однієї адміністративно-територіальної одиниці (Автономної Республіки Крим, областей, міст Києва та Севастополя) талон зняття з реєстрації місця проживання в Україні до адресно-довідкового підрозділу не надсилається. У відомостях про реєстрацію місця проживання особи робиться відмітка "одночасно знято з реєстрації".

2.8. У паспортний документ особи, місце проживання якої реєструється з одночасним зняттям з реєстрації попереднього місця проживання, територіальним підрозділом ДМС України спочатку проставляється штамп зняття з реєстрації місця проживання особи (далі - штамп зняття з реєстрації місця проживання), зразок якого наведено в додатку 4 до Порядку оформлення і видачі паспорта громадянина України, затвердженого наказом МВС України від 13 квітня 2012 року № 320, зареєстрованого у Міністерстві юстиції України 02 липня 2012 року за № 1089/21401, а потім штамп реєстрації місця проживання особи.

2.9. Якщо після здійснення реєстрації місця проживання особи з одночасним зняттям з реєстрації попереднього місця проживання буде встановлено, що особа не повідомила про реєстрацію місця проживання разом з нею неповнолітніх дітей, обидві дії скасовуються відповідно до розділу VІІ цього Порядку.