Нужно ли разрешение на вывоз ребенка от бывшего мужа с Луганска в Севастополь?

Не нужно разрешение.

Державна прикордонна служба України надала роз’яснення у своєму листі від 23.05.2014 р. № 0.232-3999/0/6-14 щодо порядку перетину кордону з тимчасово окупованою територією, якою нині є Крим, із метою оздоровлення та відпочинку там дітей і за умови, що підприємство має в Криму власну базу відпочинку чи дитячий оздоровчий табір.

Порядок поїздок громадян України з Автономної Республіки Крим до інших областей України й у зворотному напрямку до АР Крим здійснюється безперешкодно через контрольні пункти в'їзду-виїзду за умови пред'явлення документа, що посвідчує особу та підтверджує громадянство України.

Зокрема громадяни України, які не досягли 16-річного віку, можуть перетинати адміністративний кордон із тимчасово окупованою територією АР Крим за проїзним документом дитини чи паспортом громадянина України для виїзду за кордон одного з батьків, у який вони записані, і в його супроводі.

Крім того, у випадках, коли дитина прямує до АР Крим у супроводі одного з батьків або вповноваженої особи, нотаріально посвідчену згоду іншого з батьків (обох батьків) на виїзд дитини за кордон під час здійснення контрольних процедур на адміністративному кордоні з тимчасово окупованою територією АР Крим пред'являти не потрібно.