Нужно ли оформлять завещание (или какой-либо другой документ) у нотариуса на вклады (сберкнижку)?

завещание неоходимо удостоверить у нотариуса.

есть и второй вариант - завещательное распоряжение: т.е. обратиться с таким распоряжением в банк.

Статья 1128. ГК РФ - Завещательные распоряжения правами на денежные средства в банках

1. Права на денежные средства, внесенные гражданином во вклад или находящиеся на любом другом счете гражданина в банке, могут быть по усмотрению гражданина завещаны либо в порядке, предусмотренном статьями 1124 - 1127 настоящего Кодекса, либо посредством совершения завещательного распоряжения в письменной форме в том филиале банка, в котором находится этот счет. В отношении средств, находящихся на счете, такое завещательное распоряжение имеет силу нотариально удостоверенного завещания.

2. Завещательное распоряжение правами на денежные средства в банке должно быть собственноручно подписано завещателем с указанием даты его составления и удостоверено служащим банка, имеющим право принимать к исполнению распоряжения клиента в отношении средств на его счете. Порядок совершения завещательных распоряжений денежными средствами в банках определяется Правительством Российской Федерации.

3. Права на денежные средства, в отношении которых в банке совершено завещательное распоряжение, входят в состав наследства и наследуются на общих основаниях в соответствии с правилами настоящего Кодекса. Эти средства выдаются наследникам на основании свидетельства о праве на наследство и в соответствии с ним, за исключением случаев, предусмотренных пунктом 3 статьи 1174 настоящего Кодекса.

4. Правила настоящей статьи соответственно применяются к иным кредитным организациям, которым предоставлено право привлекать во вклады или на другие счета денежные средства граждан.