При опросе инспектора после аварии зафиксировали, что водитель уснул за рулем - получит ли он выплату по каско?

Это зависит от условий правил страхования (ст. 943 ГК РФ), Они разные у страховых.

в случае отказа в выплате, обращайтесь с иском в суд, выплатить обязаны

иск по ст 131-132 гпк рф

В данном случае вам необходимо изучить правила страхования по КАСКО (ст.421 ГК РФ)

Скорее всего выплатят, конкретно зависит от условий Вашего договора. Но в случае, если виноваты Вы, и это официально установлено, страховая компания будет вправе впоследствии обратиться к Вам с требованием о возмещении нанесенного ей ущерба.

СК должна выплатить страховое возмещение, поскольку условием страхования является ДТП независимо от Вашей вины

Страховку обязаны выплатить.

Правила указывают:

"Статья 21.1. Не является страховым случаем и не подлежит возмещению наступление ущерба (убытков) в результате следующих действий или бездействия Страхователя, Водителя или Выгодоприобретателя, которые сознательно ведут к нарушению страхового обязательства:

1. ущерб, возникший при управлении заведомо неисправным ТС, эксплуатация которого запрещена в соответствии с нормативными актами Российской Федерации;

2. ущерб, возникший при управлении ТС лицом, находящимся в состоянии алкогольного или наркотического опьянения и (или) под воздействием препаратов или веществ токсического или седативного действия;

3. ущерб, возникший при управлении ТС лицом, не имеющим в соответствии с нормативными актами Российской Федерации права управления указанным в договоре страхования ТС, в том числе лицом, лишенным права управления ТС;

4. ущерб, возникший при нарушении правил пожарной безопасности и правил хранения и перевозки опасных веществ и предметов;

5. ущерб, возникший при использовании ТС в целях обучения вождению или для участия в соревнованиях;

6. ущерб, возникший при эксплуатации ТС и ДО с нарушением условий эксплуатации, предусмотренных заводом-изготовителем;

7. повреждение ТС, если Страхователь, Выгодоприобретатель или Водитель оставил в нарушение Правил дорожного движения, установленных нормативно-правовым актом Российской Федерации, место дорожно-транспортного происшествия, либо уклонился от прохождения в соответствии с установленным порядком освидетельствования на состояние опьянения, либо употребил алкогольные напитки, наркотические, психотропные или иные одурманивающие вещества после дорожно-транспортного происшествия, до прохождения указанного освидетельствования или принятия решения об освобождении от такого освидетельствования;

8. повреждение или утрата (гибель) ТС, если Страхователь, Выгодоприобретатель или Водитель оставил открытыми (не запертыми на замок) двери или окна ТС во время его стоянки или остановки при отсутствии в салоне Водителя;

9. повреждение или утрата (гибель) ТС, если Страхователь, Выгодоприобретатель или Водитель осуществлял коммерческую (с целью получения дохода) деятельность по перевозке третьих лиц в качестве пассажиров".