Может ли человек стать членом ТСЖ, если квартира находится на имени его отца?

Если Вы не собственник жил помещения, то не можете являться членом ТСЖ согласно ЖК РФ:

Статья 135. Товарищество собственников жилья

1. Товариществом собственников жилья признается некоммерческая организация, объединение собственников помещений в многоквартирном доме для совместного управления общим имуществом в многоквартирном доме либо в случаях, указанных в части 2 статьи 136 настоящего Кодекса, имуществом собственников помещений в нескольких многоквартирных домах или имуществом собственников нескольких жилых домов, обеспечения владения, пользования и в установленных законодательством пределах распоряжения общим имуществом в многоквартирном доме либо совместного использования имущества, находящегося в собственности собственников помещений в нескольких многоквартирных домах, или имущества, принадлежащего собственникам нескольких жилых домов, осуществления деятельности по созданию, содержанию, сохранению и приращению такого имущества, предоставления коммунальных услуг лицам, пользующимся в соответствии с настоящим Кодексом помещениями в данных многоквартирных домах или данными жилыми домами, а также для осуществления иной деятельности, направленной на достижение целей управления многоквартирными домами либо на совместное использование имущества, принадлежащего собственникам помещений в нескольких многоквартирных домах, или имущества собственников нескольких жилых домов.