Требуется ли разрешение отца на прописку детей в квартире гражданского супруга, если официальный брак разведен?

Требуется разрешение второго родителя.

Статья 20. Место жительства гражданина

2. Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей - родителей, усыновителей или опекунов.

В принципе согласия второго супруга и не нужно.

ФЕДЕРАЛЬНАЯ МИГРАЦИОННАЯ СЛУЖБА ПРИКАЗ от 11 сентября 2012 г. N 288 ОБ УТВЕРЖДЕНИИ АДМИНИСТРАТИВНОГО РЕГЛАМЕНТА ПРЕДОСТАВЛЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЙ МИГРАЦИОННОЙ СЛУЖБОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ УСЛУГИ ПО РЕГИСТРАЦИОННОМУ УЧЕТУ ГРАЖДАН РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО МЕСТУ ПРЕБЫВАНИЯ И ПО МЕСТУ ЖИТЕЛЬСТВА В ПРЕДЕЛАХ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

..... 135. В случаях, когда граждане, выбывающие к новому месту жительства, намерены перед выездом сняться с регистрационного учета по месту жительства, они обращаются к должностным лицам, ответственным за регистрацию, с заявлением о снятии с регистрационного учета по месту жительства произвольной формы от каждого лица, достигшего 14-летнего возраста (от имени лица, не достигшего 14-летнего возраста, заявление пишет и подает его законный представитель), с указанием адреса, куда они выбывают, а также представляют документы, удостоверяющие их личность.