Имеет ли смысл написать им письмо с уведомлением, что я не вернусь?

Из Вашего вопроса неясно, состояли ли Вы в трудовых отношениях с администрацией города. От этого зависит и точность ответа. Поэтому два варианта:

1. Согласно статье 57 Трудового кодекса РФ в трудовом договоре могут предусматриваться дополнительные условия об обязанности работника отработать после обучения не менее установленного договором срока, если обучение проводилось за счет средств работодателя. Закон не регламентирует случаи, когда работодатель не до конца произвёл оплату обучения. Но полагаю, что в Вашем случае требовать от Вас отработки было бы нахальством со стороны администрации, ведь они не исполнили своих обязанностей.

2. Аналогичный вывод (о нахальстве) я бы сделал и при условии, что Вы не состояли в трудовых отношениях с администрацией города и договор о Вашем обучении – простой гражданско-правовой договор. Тем более, как Вы пишите, подписанный Вами договор в природе не существует. Вообще какой-то странный договор получается. Предметом гражданско-правового договора не может быть обязательство вступить в трудовые отношения (согласно статье 37 Конституции РФ труд свободен).

Учитывая, что деньги на ваше обучение были потрачены бюджетные, думаю, что от Вас так просто не отступятся. Поэтому рекомендую обратиться к реальному юристу с изложением своей проблемы.

С уважением,