Почему бывшая супруга просит у меня нотариально заверенное согласие на проживание ребенка?

Просто без Вашего согласия она не сможет его зарегистрировать по новому месту жительства. Регистрация в жилом помещении осуществляется в соответствии с положениями Административного регламента предоставления Федеральной миграционной службой государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, утвержденного Приказом ФМС России от 11.09.2012 N 288.

Семейный кодекс РФ

Статья 65. Осуществление родительских прав

...

3. Место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается соглашением родителей.

При отсутствии соглашения спор между родителями разрешается судом исходя из интересов детей и с учетом мнения детей. При этом суд учитывает привязанность ребенка к каждому из родителей, братьям и сестрам, возраст ребенка, нравственные и иные личные качества родителей, отношения, существующие между каждым из родителей и ребенком, возможность создания ребенку условий для воспитания и развития (род деятельности, режим работы родителей, материальное и семейное положение родителей и другое).

По требованию родителей (одного из них) в порядке, установленном гражданским процессуальным "законодательством", и с учетом требований "абзаца второго" настоящего пункта суд с обязательным участием органа опеки и попечительства вправе определить место жительства детей на период до вступления в законную силу судебного решения об определении их места жительства.

...

В БРАКОРАЗВОДНОМ ПРОЦЕССЕ СУД НА ОСНОВАНИИ Ч. 2 СТ.24 СК РФ ДОЛЖЕН БЫЛ ОПРЕДЕЛИТЬ определить, с кем из родителей будут проживать несовершеннолетние дети после развода.

СКАЖИТЕ БЫВШЕЙ СУПРУГЕ, ЧТО НИКАКОГО НОТАРИАЛЬНОГО СОГЛАСИЯ НЕ ДАДИТЕ, ПОСКОЛЬКУ У НЕЁ ЕСТЬ РЕШЕНИЕ СУДА И П. 114 Приказ ФМС России от 11.09.2012 N 288 НЕ ТРЕБУЕТ НОТАРИАЛЬНОГО СОГЛАСИЯ.

"Семейный кодекс Российской Федерации" от 29.12.1995 N 223-ФЗ

(ред. от 05.05.2014)

Статья 24. Вопросы, разрешаемые судом при вынесении решения о расторжении брака

1. При расторжении брака в судебном порядке супруги могут представить на рассмотрение суда соглашение о том, с кем из них будут проживать несовершеннолетние дети, о порядке выплаты средств на содержание детей и (или) нетрудоспособного нуждающегося супруга, о размерах этих средств либо о разделе общего имущества супругов.

2. В случае, если отсутствует соглашение между супругами по вопросам, указанным в пункте 1 настоящей статьи, а также в случае, если установлено, что данное соглашение нарушает интересы детей или одного из супругов, суд обязан:

определить, с кем из родителей будут проживать несовершеннолетние дети после развода;

Приказ ФМС России от 11.09.2012 N 288

(ред. от 21.01.2014)

"Об утверждении Административного регламента предоставления Федеральной миграционной службой государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации"

(Зарегистрировано в Минюсте России 02.04.2013 N 27963)

114. Регистрация по месту жительства несовершеннолетних граждан, не достигших 14-летнего возраста и проживающих вместе с родителями (усыновителями, опекунами), осуществляется на основании документов, удостоверяющих личность родителей (усыновителей), или документов, подтверждающих установление опеки, и свидетельства о рождении этих несовершеннолетних с письменного согласия их законных представителей. Указанная регистрация осуществляется с выдачей свидетельства о регистрации по месту жительства формы N 8 (приложение N 15 к Регламенту).

С точки зрения раздела имущества супругов никаких целей она этим не достигнет. Если не было определено место жительства ребёнка, то может подать такой иск и довесить к аргументам и регистрацию ребёнка по месту постоянного жительства с ней.