Возможно ли приватизировать квартиру при временной прописке и согласии родителя?

Если В имеете право пользования квартирой, то можете участвовать в приватизации.

Порядок приватизации жилых помещений в собственность граждан, которые занимают данные помещения установлен Законом РФ от 04.07.1991 N 1541-1 "О приватизации жилищного фонда в Российской Федерации"

Там, в частности, установлено:

…Статья 2. Граждане Российской Федерации, имеющие право пользования жилыми помещениями государственного или муниципального жилищного фонда на условиях социального найма, вправе приобрести их на условиях, предусмотренных настоящим Законом, иными нормативными правовыми актами Российской Федерации и нормативными правовыми актами субъектов Российской Федерации, в общую собственность либо в собственность одного лица, в том числе несовершеннолетнего, с согласия всех имеющих право на приватизацию данных жилых помещений совершеннолетних лиц и несовершеннолетних в возрасте от 14 до 18 лет.