Что произойдет с неприватизированной квартирой после смерти квартиросъемщика, если в ней прописаны квартиросъемщик и 11-летний ребенок?

Нет, не уйдет.

Мало того "Жилые помещения, в которых проживают исключительно несовершеннолетние в возрасте до 14 лет, передаются им в собственность по заявлению родителей (усыновителей), опекунов с предварительного разрешения органов опеки и попечительства либо по инициативе указанных органов. Жилые помещения, в которых проживают исключительно несовершеннолетние в возрасте от 14 до 18 лет, передаются им в собственность по их заявлению с согласия родителей (усыновителей), попечителей и органов опеки и попечительства.

(часть вторая введена Федеральным законом от 11.08.1994 N 26-ФЗ; в ред. Федерального закона от 28.03.1998 N 50-ФЗ)

В случае смерти родителей, а также в иных случаях утраты попечения родителей, если в жилом помещении остались проживать исключительно несовершеннолетние, органы опеки и попечительства, руководители учреждений для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, опекуны (попечители), приемные родители или иные законные представители несовершеннолетних в течение трех месяцев оформляют договор передачи жилого помещения в собственность детям-сиротам и детям, оставшимся без попечения родителей. Договоры передачи жилых помещений в собственность несовершеннолетним, не достигшим возраста 14 лет, оформляются по заявлениям их законных представителей с предварительного разрешения органов опеки и попечительства или при необходимости по инициативе таких органов. Указанные договоры несовершеннолетними, достигшими возраста 14 лет, оформляются самостоятельно с согласия их законных представителей и органов опеки и попечительства."