Может ли работник обратиться в суд на защиту своей чести и деловой репутации после оскорбительного письма, разосланного руководителям учреждения?

Все основания у вас есть для подачи в суд.

Статья 152. Защита чести, достоинства и деловой репутации 1. Гражданин вправе требовать по суду опровержения порочащих его честь, достоинство или деловую репутацию сведений, если распространивший такие сведения не докажет, что они соответствуют действительности. Опровержение должно быть сделано тем же способом, которым были распространены сведения о гражданине, или другим аналогичным способом. По требованию заинтересованных лиц допускается защита чести, достоинства и деловой репутации гражданина и после его смерти. 2. Сведения, порочащие честь, достоинство или деловую репутацию гражданина и распространенные в средствах массовой информации, должны быть опровергнуты в тех же средствах массовой информации. Гражданин, в отношении которого в средствах массовой информации распространены указанные сведения, имеет право потребовать наряду с опровержением также опубликования своего ответа в тех же средствах массовой информации. 3. Если сведения, порочащие честь, достоинство или деловую репутацию гражданина, содержатся в документе, исходящем от организации, такой документ подлежит замене или отзыву. 4. В случаях, когда сведения, порочащие честь, достоинство или деловую репутацию гражданина, стали широко известны и в связи с этим опровержение невозможно довести до всеобщего сведения, гражданин вправе требовать удаления соответствующей информации, а также пресечения или запрещения дальнейшего распространения указанных сведений путем изъятия и уничтожения без какой бы то ни было компенсации изготовленных в целях введения в гражданский оборот экземпляров материальных носителей, содержащих указанные сведения, если без уничтожения таких экземпляров материальных носителей удаление соответствующей информации невозможно. 5. Если сведения, порочащие честь, достоинство или деловую репутацию гражданина, оказались после их распространения доступными в сети "Интернет", гражданин вправе требовать удаления соответствующей информации, а также опровержения указанных сведений способом, обеспечивающим доведение опровержения до пользователей сети "Интернет". 6. Порядок опровержения сведений, порочащих честь, достоинство или деловую репутацию гражданина, в иных случаях, кроме указанных в пунктах 2 - 5 настоящей статьи, устанавливается судом. 7. Применение к нарушителю мер ответственности за неисполнение судебного решения не освобождает его от обязанности совершить предусмотренное решением суда действие. 8. Если установить лицо, распространившее сведения, порочащие честь, достоинство или деловую репутацию гражданина, невозможно, гражданин, в отношении которого такие сведения распространены, вправе обратиться в суд с заявлением о признании распространенных сведений не соответствующими действительности. 9. Гражданин, в отношении которого распространены сведения, порочащие его честь, достоинство или деловую репутацию, наряду с опровержением таких сведений или опубликованием своего ответа вправе требовать возмещения убытков и компенсации морального вреда, причиненных распространением таких сведений. 10. Правила пунктов 1 - 9 настоящей статьи, за исключением положений о компенсации морального вреда, могут быть применены судом также к случаям распространения любых не соответствующих действительности сведений о гражданине, если такой гражданин докажет несоответствие указанных сведений действительности. Срок исковой давности по требованиям, предъявляемым в связи с распространением указанных сведений в средствах массовой информации, составляет один год со дня опубликования таких сведений в соответствующих средствах массовой информации. 11. Правила настоящей статьи о защите деловой репутации гражданина, за исключением положений о компенсации морального вреда, соответственно применяются к защите деловой репутации юридического лица.

И ст.151 ГК- возмещение морального вреда.