Суд по своей инициативе ставит вопрос о назначении независимой экспертизы, утверждая что платить должен истец.

Вы правы. Только вот "ставить вопрос" и "осуществлять действия" разные понятия. Суд, скорее всего, и предлагает сторонам заявить ходатайство о назначении экспертизы по их инициативе.

ГПК РФ.

"

Статья 96. Внесение сторонами денежных сумм, подлежащих выплате свидетелям, экспертам и специалистам

1. Денежные суммы, подлежащие выплате свидетелям, экспертам и специалистам, или другие связанные с рассмотрением дела расходы, признанные судом необходимыми, предварительно вносятся на банковский счет управления (отдела) Судебного департамента в субъектах Российской Федерации стороной, заявившей соответствующую просьбу. В случае, если указанная просьба заявлена обеими сторонами, требуемые суммы вносятся сторонами в равных частях.

2. В случае, если вызов свидетелей, назначение экспертов, привлечение специалистов и другие действия, подлежащие оплате, осуществляются по инициативе суда, соответствующие расходы возмещаются за счет средств федерального бюджета.

В случае, если вызов свидетелей, назначение экспертов, привлечение специалистов и другие действия, подлежащие оплате, осуществляются по инициативе мирового судьи, соответствующие расходы возмещаются за счет средств бюджета субъекта Российской Федерации, на территории которого действует мировой судья.

3. Суд, а также мировой судья может освободить гражданина с учетом его имущественного положения от уплаты расходов, предусмотренных частью первой настоящей статьи, или уменьшить их размер. В этом случае расходы возмещаются за счет средств соответствующего бюджета".