Возможно ли оформить доверенность у несовершеннолетнего без регистрации и разведенных родителей, и могут ли возникнуть проблемы на границе?

Согласие обоих родителей для детей, являющихся гражданами РФ, нужно только в случае вывоза ребенка за пределы РФ (если ребенок следует без родителей). При возвращении закон не обязывает иметь такое согласие. Правила ввоза детей в иностранные государства и вывоза из этих государств регламентируются законодательством этих государств.

Федеральный закон от 15.08.1996 N 114-ФЗ "О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию"

Статья 20. Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств), которое (которые) он намерен посетить...

Порядок подачи заявления о несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации устанавливается уполномоченным федеральным органом исполнительной власти...