Есть ли какие-то ограничения по выплате доплаты и «подъемных»?

Не совсем понятно про какие подъемные идет речь. Скорей всего Вы устроились на работу в районах Крайнего Севера и прибыли на работу из иного района.

В таком случае, действия работодателя неправомерны, ст. 326 ТК РФ -

Лицам, заключившим трудовые договоры о работе в организациях, финансируемых из федерального бюджета, расположенных в районах Крайнего Севера и приравненных к ним местностях, и прибывшим в соответствии с этими договорами из других регионов Российской Федерации, за счет средств работодателя предоставляются следующие гарантии и компенсации:

единовременное пособие в размере двух месячных тарифных ставок, окладов (должностных окладов) и единовременное пособие на каждого прибывающего с ним члена его семьи в размере половины месячной тарифной ставки, оклада (должностного оклада) работника;

оплата стоимости проезда работника и членов его семьи в пределах территории Российской Федерации по фактическим расходам, а также стоимости провоза багажа не свыше пяти тонн на семью по фактическим расходам, но не свыше тарифов, предусмотренных для перевозки железнодорожным транспортом;

оплачиваемый отпуск продолжительностью семь календарных дней для обустройства на новом месте.

Право на оплату стоимости проезда и стоимости провоза багажа членов семьи сохраняется в течение одного года со дня заключения работником трудового договора в данной организации в указанных районах и местностях.

Работнику организации, финансируемой из федерального бюджета, и членам его семьи в случае переезда к новому месту жительства в другую местность в связи с расторжением трудового договора по любым основаниям (в том числе в случае смерти работника), за исключением увольнения за виновные действия, оплачивается стоимость проезда по фактическим расходам и стоимость провоза багажа из расчета не свыше пяти тонн на семью по фактическим расходам, но не свыше тарифов, предусмотренных для перевозок железнодорожным транспортом.

Гарантии и компенсации, предусмотренные настоящей статьей, предоставляются работнику организации, финансируемой из федерального бюджета, только по основному месту работы.

Размер, условия и порядок компенсации расходов, связанных с переездом, лицам, работающим в организациях, финансируемых из бюджетов субъектов Российской Федерации, устанавливаются органами государственной власти субъектов Российской Федерации, в организациях, финансируемых из местных бюджетов, - органами местного самоуправления, у работодателей, не относящихся к бюджетной сфере, - коллективными договорами, локальными нормативными актами, принимаемыми с учетом мнения выборных органов первичных профсоюзных организаций, трудовыми договорами.

Приведенная статья не делает исключений по оплате, связанных с наличием учебного года, есть только ограничение в 1 год на предъявление документов к оплате.