Как правильно вывезти автомобиль из России в Казахстан?

Вам больше ничего и не надо, спокойно можете ехать домой, там машину поставите на учет. Можете поставить на временный учет в г. Челябинске. , для Вашего спокойствияю

ПРИКАЗ МВД России от 24 ноября 2008 г. N 1001 указывает:

"Собственники транспортных средств либо лица, от имени собственников владеющие, пользующиеся или распоряжающиеся на законных основаниях транспортными средствами, обязаны в установленном порядке зарегистрировать их или изменить регистрационные данные в течение срока действия регистрационного знака "ТРАНЗИТ" или в течение 10 суток после приобретения, таможенного оформления, снятия с регистрационного учета транспортных средств, замены номерных агрегатов или возникновения иных обстоятельств, потребовавших изменения регистрационных данных

Зарегистрируйте в Челябинске.

См. Приказ МВД России от 7 августа 2013 г. № 605 "Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по регистрации автомототранспортных средств и прицепов к ним"

ГАРАНТ.РУ: www.garant.ru

Руководствуйтесь п.33 Правил. Получайте транзитные номера, а затем можете ехать, в том числе и в Казахстан.

Приказ МВД РФ от 24 ноября 2008 г. N 1001

"О порядке регистрации транспортных средств"

Правила

регистрации автомототранспортных средств и прицепов к ним в государственной инспекции безопасности дорожного движения Министерства внутренних дел Российской Федерации

33. В отношении транспортных средств и шасси транспортных средств организаций-изготовителей, а также юридических лиц и индивидуальных предпринимателей, осуществляющих торговлю транспортными средствами, перегоняемых к местам их доработки (доукомплектования) либо продажи, собственник или владелец транспортного средства обязан в течение 10 суток получить в регистрационном подразделении по месту нахождения транспортного средства регистрационные знаки "ТРАНЗИТ" соответствующих типов, установленных законодательством Российской Федерации, для следования к конечным производителям транспортных средств, перегона транспортного средства к месту регистрации или в связи с вывозом транспортного средства за пределы Российской Федерации на постоянное пребывание.