Требуется ли разрешение органов опеки для переписки несовершеннолетнего сына на другое место прописки?

Правильно вести речь о месте жительства ребёнка, а регистрация - лишь запись, фиксация с целью учета и придания ему (проживанию) статуса официально признанного акта.

Таким образом, следует обеспечить право Вашего ребёнка проживать со своим отцом или с со своей матерью.

СК РФ.

Статья 54. Право ребенка жить и воспитываться в семье

1. Ребенком признается лицо, не достигшее возраста восемнадцати лет (совершеннолетия).

2. Каждый ребенок имеет право жить и воспитываться в семье, насколько это возможно, право знать своих родителей, право на их заботу, право на совместное с ними проживание, за исключением случаев, когда это противоречит его интересам.

Ребенок имеет права на воспитание своими родителями, обеспечение его интересов, всестороннее развитие, уважение его человеческого достоинства.

Статья 61. Равенство прав и обязанностей родителей

1. Родители имеют равные права и несут равные обязанности в отношении своих детей (родительские права).

Статья 63. Права и обязанности родителей по воспитанию и образованию детей

1. Родители имеют право и обязаны воспитывать своих детей.

Родители несут ответственность за воспитание и развитие своих детей. Они обязаны заботиться о здоровье, физическом, психическом, духовном и нравственном развитии своих детей.

Родители имеют преимущественное право на обучение и воспитание своих детей перед всеми другими лицами.