И главный вопрос, должно ли агентство проверять историю квартиры, если за услуги берут 100% от найма жилья?

Из текста вопроса следует, что договор в письменной форме был заключён между арендатором (нанимателем) и собственником квартиры, а значит обязанности агентства – посредника полностью выполнены, поэтому требовать возврата уплаченной агентству суммы вознаграждения по причине последующего отказа арендодателя (наймодателя) от сдачи площади нет оснований, равно как и требовать бесплатно предоставления другого варианта, если такая ситуация прямо не указана в договоре с агентством. Если есть письменные доказательства уплаты арендной платы и расходов, понесённых по договору с агентством, то предъявите письменную претензию арендодателю, которую направьте заказным письмом с описью вложения и уведомлением о вручении о взыскании суммы и убытков и досрочном расторжении договора в связи с не предоставлением квартиры в пользование (ст.620 ГК РФ). При отказе от выплаты или неполучении ответа в месячный срок иск о взыскании суммы предъявляется в суд по месту жительства ответчика.. Если сумма иска в пределах 50000руб., то иск подсуден мировому судье, а при большей сумме иска - районному федеральному суду. При подаче иска оплачивается госпошлина. Проверка истории квартиры осуществляется агентством при продаже, а не при сдаче в аренду. В последнем случае агентство должно установить собственника квартиры, с которым заключается договор.